Разложение функций в ряд

Оценим возможности рядов.

1. Полярность в ряд разложить нельзя. Её можно получить взаимоотношениями других полярностей, а это – алгебра.

2. В ряд можно разложить только однополярные количества.

3. По этим причинам современные функциональные ряды следует пересмотреть.

Вот пример сегодняшнего определения: Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a , тогда ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, то этот ряд называется рядом Маклорена.

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Как видим, некоторое a получило полярность.

Более того, есть ещё «остаточные члены»:

Остаточные члены в форме Лагранжа, Коши и Пеано

В форме Лагранжа:

Тогда формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа будет:

где

В форме Коши:

Изменим предположения:

• Пусть функция f (x) имеет n – 1 производную в некоторой окрестности точки a

• Пусть n имеет производную в самой точке a,

тогда:

- остаточный член в форме Пеано.