Кватернионы. Суперпозиция четырёхполярных пространств
История
После создания теории "комплексных чисел" возник вопрос о существовании "гиперкомплексных" чисел - чисел с несколькими "мнимыми" единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности.
Интересно, что если бы Гамильтону пришла мысль взять четыре "мнимых единицы" (ί), (j), (k), ( λ), то неудобст в их умножением не было бы (см. дальше).
Кватернионы
Это название идёт из математики, где взяты во взаимодействие три четырёхполярных пространства.
Для наглядности и примера возьмём суперпозиционную «пересекающуюся» локу, которая состоит из трёх лок 4. «Пересечение» определим на «среднем» объекте каждой локи 4. Напишем основные законы каждой локи 4:
|
1. Янтра ί:
(ί)*(ί) = −,
(ί)*(−) = −ί,
(ί)*(−ί) = +,
(−ί)*( −ί) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
|
2. Янтра j:
(j)*( j) = −,
(j)*(−) = − j,
(j)*(− j) = +,
(−j)*( − j) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
|
3. Янтра k:
(k)*( k) = −,
(k)*(−) = − k,
(k)*(− k) = +,
(−k)*( −ί) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
Ввести во взаимодействие три четырёхполярных локи можно без противоречий. Для этого (ί)*(j)*(k) = +. Откуда (ί)*( j) = − k, (ί)*(k) = − j, ( j)*(k)= −, а также k = −(ί)*( j), j= −(ί)*( k), ί = − ( j)*(k) . В такой локе сохраняется закон (−)*(−) = +, а так же (+)*(+) = +. Однако (ί)2*(j)2*(k)2 = −. Это требует оговорку. Однако откуда знать с какой сторонц производить умножение: с левой или с правой? Коммутативность хороша тем, что если (а)*(в) = с, то также (в)*(а) = с, то есть (а)*(в) = (в)*(а). Кроме того, в ней нет противоречий.
Противоречие
Можно предположить, что У.Гамильтона что-то предопределяло, и сковало его творческую мысль. Наверное, это было стремление удовлетворить "трёхмерное" пространство.
Если (ί)*(j)*(k) = -1, то (ί )*((ί )*(j)*(k)) = -1(ί), то есть - (j)*(k) = - ί, или (j)*(k) = ί . Откуда (ί )*(j) = k. Умножим левую и правую части на ί. Если умножение (j)*((j)*(k)) = (ί )*(j) произведём сначала (j)*((j), то получим (-k) = (ί )*(j) , но до этого (k) = (ί )*(j). Итак, мы получили противоречие (-k) = (k) , то есть + = –.
Это противоречие можно "скрасить" оговорками. Однако оговаривать подобное противоречие рискованно, ведь в итоге мы доказали, что + = -. Если идти путём подобного "компромисса", то в математики теоремы и доказательства теряют смысл. Не следует уповать и на естественные науки. Там нет взаимодействий вида "электрон слева" и "электрон справа".
Корректные суперпозиции
Без «оговорок», то есть коммутативно, взаимоотношения выполняются если в суперпозицию ввести ещё одну четырёхполярную локу к тому, что приведено выше.
|
4. Янтра λ:
(λ)*( λ) = −,
(λ)*(−) = − λ,
(λ)*(− λ) = +,
(−λ)*( −ί) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
Теперь
(ί)*(j)*(k)*( λ) = −.
Отсюда:
ί = (j)*(k)*( λ),
j = (ί)*(k)*( λ),
k = (ί)*(j)*( λ),
λ= (ί)*(j)*(k).
Взаимодействия, известные из алгебры «действительных чисел» теперь не требует оговорок, то есть (ί)^2*(j)^2*(k)^2*( λ)^2 = (−)^2 = +. Также (ί)*(j) = +, (ί)*(k)= +, (ί)*( λ)= + и т.п. для каждой «пары». Нужно сказать, что подобное выполняется и в суперпозиции двух четырёхполярных лок.
|
1. Янтра ί:
(ί)*(ί) = −,
(ί)*(−) = −ί,
(ί)*(−ί) = +,
(−ί)*( −ί) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
|
2. Янтра j:
(j)*( j) = −,
(j)*(−) = − j,
(j)*(− j) = +,
(−j)*( − j) = −,
(−)*(−) = +.
(+)*(+) = +.
Теперь (ί)*( j) = +, а также (−ί)*(−j) = +. Отсюда ί = −j, j = −ί.
Мы видим, что непротиворечивых коммутативных суперпозиций может быть достаточно много и нет проблем ломать голову, с какой стороны произвести умножение и ставить под удар всю математику с её аксиомами и теоремами. Придётся некоммутативность отныне похоронить раз и навсегда.
Впрочем, уже теперь заметна закономерность - нечётное число четырёхполярных пространств приводят к противоречию. Это легко доказать теоремой.
Более того, некоммутативность можно считать в самой математике не приемлемой. Почему? В формальных системах нет предпочтения. Предпочтение приводит к противоречию. Сверх того, когда речь шла о суперпозиции трёх пространств, то тут ещё можно фиксировать оговорки. Но дальше, когда в суперпозицию будут вводиться локи больших размеров и большего числа, оговорки выльются в неуправляемую систему.