Admin: Новая: Современное понятие «кольца» Простейшими примерами кольца могут служить системы ч...

2009-02-11T00:06:57Z

Новая: Современное понятие «кольца» Простейшими примерами кольца могут служить системы ч...

Новая страница

Современное понятие «кольца»

Простейшими примерами кольца могут служить системы чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения. Однако нужно всегда помнить о поляризованных числах так, что не путать их с однополярными числами; при умножении поляризованного числа (например, – 5), на поляризованное число (например, +4) получим некоторое поляризованное число, которое вне понятий современного уровня развития ума. Такие числа реальные только в мире ума. Останется тема уровня ума и ариом для их реализации.

В современном понятии: «кольцом» называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие аксиомы:

I. Коммутативность сложения:
а + b = b + а.

II. Ассоциативность сложения:
а + (b + с) = (а + b) + с.

III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b – a.

IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab + ac,
(b + с) а = ba + са.

Перечисленные свойства показывают, что элементы «кольца» образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами «кольца» могут служить множества:

1) всех действительных чисел;

2) всех комплексных чисел;

3) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b;

4) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;

5) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой;

6) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами;

7) всех кватернионов;

8) всех чисел Кэли — Диксона;

9) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения;

10) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
Во многих случаях на умножение в «кольце» налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то «кольцо» называют ассоциативным. Однако, если в «кольце» выполняются равенства (aa) b = a (ab),
(ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом, то есть система противоречивая.

Если в «кольце» выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом.

Если в «кольце» выполняются равенства
а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a2 = 0, то оно называется кольцом Ли.

Если ab = ba, то «кольцо» называют коммутативным.

Операции сложения и умножения в «кольце» во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами: его элементы можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, такой элемент – а, что а + (—a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю.

Однако в «кольце» может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля.

Ассоциативное коммутативное «кольцо» без делителей нуля называют областью целостности. Так же, как и в области целых чисел, не во всяком «кольце» возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а ≠ 0, то «кольцо» называют телом.

Ассоциативное коммутативное тело принято называть «полем».


Замечание по абсурду.

Наверное, в таких случаях говорят «нет слов». В книге «Пространства» (см. также [[Многополярная математика|Пространства]]) было доказано, что мышление (здравое) не возможно без единицы. Придётся «кольцо» добавить единицей. Более того, единица это свойство самого ума такое, что для охвата и приведения объектов мышления. Но тогда это уже не «кольцо», а «поле». Поэтому можно считать «кольцо» выдумкой по неразличению и недомыслию математиков.

Абсурд современного понятия кольца - История изменений

Admin: Новая: Современное понятие «кольца» Простейшими примерами кольца могут служить системы ч...