Современное понятие поля
Современное понятие поля
Поле – алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в других отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные — сложение и умножение, и обратные им — вычитание и деление). Этим же характеризуются и поле. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия — сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:
I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.
II. Существует элемент 0 (ноль), для которого всегда а + 0 = а; для каждого элемента а существует противоположный -а, и их сумма равна нулю, то есть а – а = 0. Отсюда следует, что в поле выполнима операция вычитания а - b.
III. Существует элемент е (единица), для которого всегда ае = а; для каждого отличного от нуля элемента а существует обратный a-1; их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число а.
IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: a (b + c) = ab + ac.
*Критика.
1. Как и следовало ожидать, здесь математики склеивают понятие числа и полярности. Например, наличие обратных элементов суть наличие полярных объектов. Поэтому а – b= 0 или a • a-1 = a-1 • a = e характеризуют полярные состояния, но не числа.
2. Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Например, в так называемом кольце Ли а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a2 = 0 выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай многополярных колец Ленского.