Комплексные числа. Четырёхполярность
Комплексные числа
Исторически комплексные числа появились как необходимость извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Такие числа стали называть "мнимыми" (ί) Теперь мы знаем, что это равнозначно "расщеплению" локи 2. Иными словами, двухполярность разворачивается до четырёхполярности.
Законы отношений в комплексных числах сохранят двухполярные отношения и добавляют соответствующие:
а) (ί)*(ί) = −,
б) (ί)*(−) = −ί,
в) (ί)*(−ί) = +,
г) (−ί)*( −ί) = −,
д) (−)*(−) = +.
Естественно, что при «расщеплении» локи 2 появилось четыре полярности. Кстати, приверженность «действительным» числам и не способность заметить поляризацию стала результатом того, что была пропущена трёхполярная лока. Кроме того, в четырёхполярной локе появилась некоторая особенность в сравнении с двухполярной локой. В двухполярной локе (х + у)*(х − у) = х2 – у2 , а в четырёхполярной (х + ί у)*(х − ί у) = х2 + у2 . Последние можно изобразить геометрически и даёт повод для геометрического изображения комплексных чисел. В дальнейшем эта слепая приверженность толкнет математиков на изобретение ещё расщеплённых лок, кратным исходной двухполярной локе. Так появились октавы, то есть восьмиполярная лока. Можно было расщеплять до шестнадцати, тридцати двух, шестидесяти четырёх полярностей, но это неосмысленное изыскание крайне скучное и бесперспективное.
Немощь математической мысли мы видим и в алгебре «комплексных чисел», так как алгебра, это взаимодействие поляризованных лок с разной интенсивностью связей.
Четырёхполярность
Плоскостная четырёхполярность
Четыре полярных объекта А, В, С, D составляют эту локу так, что пятого не дано. Согласно теореме 2 эта лока имеет ноль. Выберем D ≡ 0.
Теорема 4.
В четырёхполярной локе законы отношений будут:
а) А + А = В, С + С = В, В + В = 0.
b) 4А = 0, 4В = 0, 4С = 0.
с) 5А = А, 5В = В, 5С = С.
d) А + В = С, В + С = А, А + С = 0.
Доказательство.
1. Согласно теореме 2: А + 0 = А, В + 0 = В, С + 0 = С, 0 + 0 = 0.
2. Если А + С = 0, то А + В ≠ А, В, 0. Остаётся А + В = С.
3. Из А + В = С имеем С + (А + В) = С + С , то есть С + С = В.
4. А + А ≠ С, 0. Остаётся А + А = В. Тогда В + В = 0. Откуда 4А = 0, а также 4С = 0, но 2В = 0.
5. Наконец, 5А = А, 5С = С, 3В = 5В = 0.
Объёмная четырёхполярность
1. Четыре полярных объекта А, В, С, D составляют локу 4. Пятого не дано.
2. Мы уже знаем, согласно теореме 4 § 3, что один из этих объектов займёт место единицы ☼. Предположим, что это объект D. Поэтому без доказательств можно записать:
(А)*( ☼) = А; (В)*( ☼) = В; (С)*( ☼) = С; (☼)*(☼) = ☼; (А)*(С) = ☼, или (А)*(В) = ☼.
Теорема 15.
В четырёхполярной локе, если согласно теореме 4 § 3 принять (А)*(С) = ☼, то законы отношений в локе будут:
1. (А)*(С) = ☼;
2. (А)*(В) = С;
3. (В)*(С) = А;
4. (А)*(А) = В;
5. (В)*(В) = ☼;
6. (С)*(С) = А;
7. (А)*(А)*(А) = С;
8. (В)*(В)*(В) = В;
9. (С)*(С)*(С) = А;
10. (А)*(А)*(А)*(А) = (В)*(В)*(В)*(В) =(С)*(С)*(С)*(С) = ☼. Для краткости последнее запишем (А)4 = (В)4 = (С)4 = ☼.
Доказательство.
1. Если (А)*(С) = ☼, то (А)*(В) = С, так как это высказывание не может иметь результатом А или В, иначе В или А станет единицей. Аналогичное рассуждение с объектом ☼.
2. Такими же рассуждениями получаем (В)*(С) = А.
3. Если взять высказывание (А)*(В) = С и высказывание (В)*(С) = А, то ((В)*(С))*(В) = С, то из этого следует, что (В)*(В) = ☼.
4. Высказывание (А)*(А) = В, так как оно не может соответствовать А, С, ☼. Это легко доказать на базе предыдущих высказываний.
5. Точно так же высказывание (С)*(С) = В, так как ему нельзя поставить в соответствие А, С, ☼.
6. Из (А)*(А) = В, проведя взаимодействие с полярностью А, получим, согласно аксиоме 5, (А)*(А)*(А) = С, а из (С)*(С) = В будет (С)*(С)*(С) = А.
7. Наконец, аналогично (А)*(А)*А)*(А) = (С)*(С)*(С)*(С) = ☼.
Замечание: Четырёхполярная лока имеет четыре изоморфных локи так, что каждый полярный объект займёт место единицы. По этой же причине законы этих изоморфных лок взаимно исключают друг друга.
Пример 10.
В пример можно взять «комплексные числа» из алгебры. Заменим символы А ≡ ί, В ≡ −, С ≡ −ί, ☼≡ +. Согласно законам локи 4 будем иметь (ί)*(ί) = −, (−ί)*(−ί) = −, (ί)*(−ί) = +, (−)*(−) = +.. Однако об алгебре можно говорить лишь тогда, когда появятся взаимодействия между локами линейной и объёмной поляризаций.
Алгоритмическое нахождение законов отношения
Для простоты используется янтра. Обозначим полярности А, В, С, ☼ .
Янтра четырёхполярного пространства.
|
По «арифметическим» правилам (А)*(А) = В, то есть 1 + 1 = 2. Возьмём, к примеру, (В)*(С). Здесь В занимает вторую, а С третью строку. Значит, 2 + 3 = 5. Пятым будет А (если строки продолжать). Можно взять первую строку там, где С стоит на первом месте в столбце, В – на втором. Значит, 1 + 2 = 3, то есть (В)*(С) = А. Теперь берём произвольное взаимодействие (А)*(В)*(С)*(А)*(В). Применяя правило янтр, получим 1 + 2 + 3 + 1 + 2 = 9. Девятым объектом в продолжение столбца будет А. Следовательно, (А)*(В)*(С)*(А)*(В) = А. Это же можно было выполнить поэтапно шаг за шагом. (А)*(В) = С, по четвёртому столбцу (С)*(С) = В, (В)*(А) = С, наконец, (С)*(В) = А. Янтры удобны тем, что можно, двигаясь по столбцам, найти просто любое взаимодействие. Например, для (В)*(С)*(В) будет по четвёртому столбцу (В)*(С) = А и далее по второму столбцу (А)*(В) = С. Итак, (В)*(С)*(В) = С.
Пример.
Примером локи 4 можно взять "комплексные числа". Исторически «корень квадратный» из полярности «минус» был не определён, так как пользовались только двухполярными отношениями. Вместо увеличения числа полярностей в локе, назвали количества подобных полярностей «мнимыми числами» и обозначили (?) . Фактически «расщепление» локи 2 и есть четырехполярная лока.
|
Согласно правилам Янтры (i)*(i) = - , (i)*(-) = -i , (i)*(-i) = +, (-i)*(-i) = - , (-)*(-) = + . Естественно, что при «расщеплении» локи 2 появилось четыре полярности. Кстати, эта приверженность к «действительным» числам и не способность заметить поляризацию стала результатом того, что была пропущена трёхполярная лока. Кроме того, в четырёхполярной локе появилась некоторая особенность в сравнении с двухполярной локой. В двухполярной локе (х + у)*(х - у) = х2 – у2, а в четырёхполярной (х + iу)*(х - iу) = х2 + у2 . Последние можно изобразить геометрически и даёт повод для геометрического изображения комплексных чисел.
В дальнейшем эта слепая приверженность толкнет математиков на изобретение ещё расщеплённых лок, кратным исходной двухполярной локе. Так появились октавы, то есть восьмиполярная лока. Можно было расщеплять до шестнадцати, тридцати двух, шестидесяти четырёх полярностей, но это слепое изыскание крайне скучное и бесперспективное. Эту немощь математической мысли мы видим и в алгебре «комплексных чисел», так как алгебра, это взаимодействие поляризованных лок с разной интенсивностью связей.