Абсурд современного понятия кольца
Современное понятие «кольца»
Простейшими примерами кольца могут служить системы чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения. Однако нужно всегда помнить о поляризованных числах так, что не путать их с однополярными числами; при умножении поляризованного числа (например, – 5), на поляризованное число (например, +4) получим некоторое поляризованное число, которое вне понятий современного уровня развития ума. Такие числа реальные только в мире ума. Останется тема уровня ума и ариом для их реализации.
В современном понятии: «кольцом» называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие аксиомы:
I. Коммутативность сложения: а + b = b + а.
II. Ассоциативность сложения: а + (b + с) = (а + b) + с.
III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b – a.
IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab + ac, (b + с) а = ba + са.
Перечисленные свойства показывают, что элементы «кольца» образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами «кольца» могут служить множества:
1) всех действительных чисел;
2) всех комплексных чисел;
3) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b;
4) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;
5) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой;
6) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами;
7) всех кватернионов;
8) всех чисел Кэли — Диксона;
9) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения;
10) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении. Во многих случаях на умножение в «кольце» налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то «кольцо» называют ассоциативным. Однако, если в «кольце» выполняются равенства (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом, то есть система противоречивая.
Если в «кольце» выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом.
Если в «кольце» выполняются равенства а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a2 = 0, то оно называется кольцом Ли.
Если ab = ba, то «кольцо» называют коммутативным.
Операции сложения и умножения в «кольце» во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами: его элементы можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, такой элемент – а, что а + (—a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю.
Однако в «кольце» может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля.
Ассоциативное коммутативное «кольцо» без делителей нуля называют областью целостности. Так же, как и в области целых чисел, не во всяком «кольце» возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а ≠ 0, то «кольцо» называют телом.
Ассоциативное коммутативное тело принято называть «полем».
Замечание по абсурду.
Наверное, в таких случаях говорят «нет слов». В книге «Пространства» (см. также Пространства) было доказано, что мышление (здравое) не возможно без единицы. Придётся «кольцо» добавить единицей. Более того, единица это свойство самого ума такое, что для охвата и приведения объектов мышления. Но тогда это уже не «кольцо», а «поле». Поэтому можно считать «кольцо» выдумкой по неразличению и недомыслию математиков.