Кольцо
Кольцо
Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы кольца):
I. Коммутативность сложения: а+b=b+ а.
II. Ассоциативность сложения: а + (b + с) = (а + b) + с.
III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b—a.
IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab+ac, (b + с) а = ba + са.
Перечисленные свойства показывают, что элементы кольца образуют коммутативную группу относительно сложения.
Примерами кольца могут служить множества; 1) всех действительных чисел; 2) всех комплексных чисел; 3) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b; 4) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 5) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 6) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 7) всех кватернионов; 8) всех чисел Кэли — Диксона, то есть выражений вида a + bе, где a, b — кватернионы, е — буква; сложение и умножение чисел Кэли — Диксона определяются равенствами (a + bе) + (a1 + b1e) = (a + a1) + (b + b1) e, (a + bе)(a1 + b1e) = (aa1 — b 1) + (aa1 + b ) e, где — кватернион, сопряжённый к a; 9) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения а•b = (аb + ba); 10) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
- Критика.
1. Кольцо обязано иметь единицу, ноль или любой аналогичный элемент ☼ такой, что (☼)*(☼) = ☼ . Единица есть неизбежный элемент не только в математики, но и в мышлении, которое формирует математику. Это доказано теоремой 2 (см.Единица).
2. Любое кольцо локализовано числом полярностей, сколько бы много не было в нём вещественных объектов.
3. В этом смысле кольцо и поле теряют различие и объединяются полем Ленского так, что современные разновидности поля и кольца становятся либо несостоятельными, либо частным случаем поля Ленского.
4. В кольцах Ленского есть пространства, когда паре элементов нельзя поставить в соответствие один элемент, а можно поставить, например, три элемента. Таким образом, кольца Ленского включает существующее понятие кольца как частный случай.