Тригонометрическая форма экспоненты в разных пространствах

е^ίх = cosx + ίsinx в разных пространствах

В качестве «инструмента» возьмём Формулу Эйлера е^ίх = cosx + ίsinx, но представим её в вариантах изоморфной записи (как суперпозиционные локи или «кватернионы» У. Гамильтона). Затем, как в кватернионах, введём эти отношения в единую систему.

Доказательства и разложение экспоненты в ряд см. в разделе Многополярные ряды.

Сумма квадратов двух чисел.

Возьмём за основу алгебру двух изоморфных систем. е^ίх = cosx + ίsinx е^јх = cosx + јsinx

Здесь ί, ј – полярности. В пространстве «умножения» поставим условием: е^ίх е^јх = е ^{(ί + ј)x} = е⁰ =1 . Следовательно, ί + ј = 0.

В каком пространстве «сложения» это выполнимо? Исследуем.

е^ίх е^јх = (cosx + ίsinx)*( cosx + јsinx) = cos²x + ίsinx* cosx + јsinx* cosx + ίјsin²x = cos²x + ίјsin²x + (ί + ј)sinx* cosx.

Если ί + ј= 0, то ίј=☼, то есть в обычной записи ίј=1.

Из этого получим е^ίх е^јх = cos²x + sin²x= 1.

А так как cosx = а/c, sinx = a/b, то получим теорему Пифагора а² + b² = c².

Такое мы уже встречали в алгебре «комплексных чисел», если принять ј = – ί. Однако было допущено условие ί + ј = 0.. Такое не всегда выполнио и принадлежит только пространствам кратным четырём.

Сумма кубов двух чисел

Возьмём за основу алгебру трёх изоморфных систем.

е^ίх = cosx + ίsinx

е^јх = cosx + јsinx

е^kх = cosx + ksinx

Здесь ί, ј, k – полярности.

Введём систему в пространство «умножения». е^ίх е^јх е^kх = е ^{(ί + ј + k)x} = е⁰ = 1.

Получили ί + ј + k = 0

В какой локе (пространстве) возможно такое соотношение? Проверим.

(cosx + ίsinx)*( cosx + јsinx)*( cosx + ksinx) = = cos³x + sin³x + (ί + ј + k) sinx cos²x + + (ίј + ίk + јk) sin²x cosx

Предположим, что, если ί + ј + k = 0, то так же ίј + ίk + јk = 0. Это как условие.

Теперь проверим на не противоречие в такой системе принятых отношений. Проведя преобразования, получим так же

ί² + ј² + k² = 0.

Наконец, после несложных преобразований получим: ί ј k = k³ , ί ј k = ј ³, ί ј k = ί ³, ί³ = ј³ = k³

Можно было бы предположить, что это суперпозиция трёх трёхполярных лок (см. Пространства). Однако тогда, чтобы избежать противоречий, появятся ещё три полярности α, β, γ.

Законы отношений между ними найдём как α + β + γ = 0, α² + β² + γ² = 0.

Тут же устанавливаются отношения между всеми полярностями так, что ί ј = k² = α, ί k = ј² = β, ј k = ί² = γ.

А так же α² = k, β² = ј, γ² = ί.

По доказанной в "Пространствах" теореме полная система будет обязательно иметь единицу ☼, такую, что, для нашего случая,

ί³ = ј³ = k³ = α³ = β³ = γ³ = ί ј k = = α β γ = ☼ (или в количестве ☼ = 1).

Из всего этого следует, что

е^ίх е^јх е^kх = cos³x + sin³x = 1.

Так как из тригонометрии cosx = а/с а так же sinx = b/c, то получим a³ + b³ = c³

Вывод.

Это, по крайней мере, означает, что Великая Теорема Ферма не состоятельна в суперпозиционном пространстве, имеющем семь полярностей.

А так как видов поляризованных пространств огромное разнообразие, то Великая Теорема Ферма становится маленьким частным случаем, который принадлежит только двухполярному пространству.

Примечание.

Здесь sinx, а так же cosx те самые, как определены в тригонометрии. Поэтому не путать с гиперболическими и прочими.

Конечно, тут же возникнет вопрос о Теореме Пифагора. Она выполнима в геометрии. Когда, в каком пространстве, окажется что «сумма кубов двух катетов равна кубу гипотенузы»?

Однако геометрия и, особенно, последующие неевклидовы геометрии (Риман, Лобачевский, Гаусс), опираются не на зрение, а на один из видов ума; зрение законов отношений не имеет. Поэтому, найдётся пространство (вид ума), в котором (как доказано только что) сумма кубов двух действительных чисел равна кубу третьего числа.

Сумма двух чисел четвёртой степени

Продолжая исследования, возьмём в систему четыре изоморфных формулы Эйлера

е^ίх = cosx + ίsinx

е^јх = cosx + јsinx

е^kх = cosx + ksinx

е^γх = cosx + γsinx

Здесь ί, ј, k, γ - полярности

Решая систему, получим:

е^ίх е^јх е^kх е^γх = е ^{(ί + ј + k + γ)x} = = е⁰ = 1. Здесь условием принято ί + ј + k + γ = 0

В какой алгебре возможно такое соотношение? Проверим.

Уже теперь по условию ί + ј + k + γ = 0. Второе получится, когда перемножим правые части системы

(cosx + ίsinx)*( cosx + јsinx)*( cosx + ksinx)*( cosx + γsinx).

После несложных преобразований будет система:

ί + ј + k + γ = 0

ίј + ίk + ίγ + јk + јγ + kγ = 0.

ίјk + ίјγ + ίkγ + јkγ = 0.

Из этой системы, с учётом обязательной единицы, получим ίјkγ = ☼.

Ближайшим образом выражение ίјkγ = ☼ принадлежит суперпозиционной двухполярной локе 5 (см. Пространства).

Иными словами, если локализовать четыре алгебры «действительных чисел», то в системе «родятся» новые законы отношений.

Для этого в алгебре «действительных чисел» взяты в нашем примере образом минус (–) изоморфные ί, ј, k, γ, а роль плюс (+) взяло на себя ☼.

В итоге имеем:

е^ίх е^јх е^kх еγх = cos⁴x + sin⁴x = 1.

Поскольку здесь sinх и cosх те самые отношения катетов к гипотенузе, то, в итоге,

a⁴ + b⁴ = c⁴ .

Иными словами, «найдётся пространство, в котором «сумма двух чисел в четвёртой степени равна третьему числу в четвёртой степени»

Вывод.

Вот уж не повезло Великой Теореме Ферма! Почему? Для наглядности в суперпозицию поставлены четыре алгебры «действительных чисел». В каждой отдельно взятой алгебре имеет место Великая Теорема Ферма. А вот в суперпозиции таких алгебр она не состоятельна!

Сумма двух чисел пятой степени

По аналогии с предыдущим, в алгебру двух интенсивностей связей «сложение» и «умножение», поставим пять изоморфных алгебр «действительных чисел».

е^ίх = cosx + ίsinx

е^јх = cosx + јsinx

е^kх = cosx + ksinx

е^λх = cosx + λsinx

Первое условие выйдет из отношения

е^ίх е^јх е^kх е^γх е^λх = 1. Откуда ί + ј + k + γ + λ = 0 .

Второе условие получится из системы отношений

(cosx + ίsinx)*( cosx + јsinx)*( cosx + ksinx)*( cosx + γsinx)* (cosx + λsinx).

В итоге

е^ίх е^јх е^kх е^γх е^λх = cos⁵x + sin⁵x = 1.

Окончательно

a⁵ + b⁵ = c⁵.

Найдётся пространство, в котором: «сумма двух чисел пятых степеней равна третьему числу в пятой степени».

Сумма двух чисел любых степеней

По индукции, или теоремой, не сложно доказать, что для системы изоморфных алгебр «действительных чисел» найдётся такое пространство, в котором

е^ίх = cosx + ίsinx

е^јх = cosx + јsinx

е^kх = cosx + ksinx

..........................

e^nх = cosx + nsinx

выполнится aⁿ+ bⁿ = cⁿ где a, b, c, n – действительные числа.

При этом условием будет ί + ј + k +,...,+ n = 0, а так же

(cosx + ίsinx)*( cosx + јsinx)*( cosx + ksinx)*….. (cosx + nsinx) = aⁿ+ bⁿ.

Таких пространств может оказаться не малое количество.

Теорема

«Найдутся пространства действительных чисел, в которых сумме двух чисел любых степеней, будет соответствовать число в степени».

Пора осознавать

Теорема aⁿ+ bⁿ = cⁿ окончательно сводит Великую Теорему Ферма к некоторому простенькому частному случаю, который достоверен только в двухполярном пространстве (в лучшем случае, в некоторых чётных пространствах).

Новая теорема затруднит лишь тех, кто увязывает напрямую мышление со зрением. Увы, анализаторы мышления и зрения разные и вся математика принадлежит только миру ума. Поэтому, от наивного заблуждения придётся отказываться.

Другое дело, что появится иная тема: насколько свойства анализатора зрения соответствуют свойствам некоторого вида ума. Например, геометрия Евклида построена на том свойстве зрения, где существуют границы между цветами, то есть линии.

Однако в зрении есть и свойство соотношения цветов, когда семиполярное пространство всецело соответствует законам отношения цветов в свете.

Если А ≡ «голубому», В ≡ «желтому», D ≡ «пурпурному», то в пространстве зрения имеем

«голубой» * «желтый» * «пурпурный» = «белый». Это означает ABD = ☼.

Если F ≡ «красному», Е ≡ «синему», С ≡ «зелёному», то имеем «красный» * «синий» * «зелёный» = «белый». Что в символах выглядит как CEF =☼.

При этом:

«голубой» * «красный» = «белый», то есть AF = ☼;

«желтый» * «синий» = «белый», то есть BE = ☼;

«пурпурный» * «зелёный» = «белый», то есть СD = ☼.

Более того, согласно Янтры 7:

(А)*(В) = С, то есть «голубой» * «желтый» = «зелёный»,

(В)*(D) = F, то есть «желтый» * «пурпурный» = «красный»,

(A)*(D) = Е, то есть «голубой» * «пурпурный» = «синий»,

(С)*(F) = B, то есть «зелёный» * «красный» = «желтый»,

(С)*(Е) = А, то есть «зелёный» * «синий» = «голубой»,

(Е)*(F) = D, то есть «синий» * «красный» = «пурпурный».

Всё это никак не «состыкуется» с двухполярным линейным умом, то есть не опишется алгеброй «действительных чисел».

Анализатору зрения подошли два пространства – «двухполярное» и «семиполярное».

Возможна ли алгебра анализатора слуха? Безусловно. Что она из себя представит? Это свойства анализатора слуха поставленные в такое пространство ума, где будут соответствовать законы. Например, частотные акустические процессы в физике есть двухполярное отображение. Однако анализатор слуха (по аналогии со зрением) имеет и иные свойства. Там есть цикличность, аккорды (суперпозиция) и всё то, что двухполярной алгеброй «действительных чисел» не опишется.

В итоге окажется два вида задаваемых уму (а, следовательно, алгебре) законов отношений:

а) от анализаторов непосредственного восприятия;

б) от свойств мира ума.

До сего времени от свойств мира ума поставлялись только двухполярные отношения и фрагменты неопределённых иных свойств (неевклидовы геометрии, результаты экспериментальной физики, Теория Относительности).

Двухполярный ум незначительно удовлетворил свойства анализатора зрения геометрией Евклида и незначительно анализатора слуха волновыми функциями.