Просмотр кода страницы Современное понятие поля

==<span style="color:blue">Современное понятие поля</span> ==

<span style="color:blue">Поле</span> – алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в других отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения.
Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные — сложение и умножение, и обратные им — вычитание и деление). Этим же характеризуются и поле. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия — сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:

I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. <span style="color:blue">a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.</span>  

II. Существует элемент <span style="color:blue">0</span> ([[Единица|ноль]]), для которого всегда <span style="color:blue">а + 0 = а;</span> для каждого элемента <span style="color:blue">а</span> существует противоположный <span style="color:blue">-а,</span> и их сумма равна нулю, то есть <span style="color:blue">а – а = 0</span>. Отсюда следует, что в поле выполнима операция вычитания <span style="color:blue">а - b.</span>
  
III. Существует элемент <span style="color:blue">е</span> ([[единица]]), для которого всегда <span style="color:blue">ае = а</span>; для каждого отличного от нуля элемента <span style="color:blue">а</span> существует обратный <span style="color:green">a<sup>-1</sup>;</span> их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число <span style="color:blue">а</span>.

IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: <span style="color:blue">a (b + c) = ab + ac.</span> 

<span style="color:red">*Критика.</span>

1.	Как и следовало ожидать, здесь математики склеивают понятие числа и полярности. Например, наличие обратных элементов суть наличие полярных объектов. Поэтому <span style="color:blue">а – b= 0</span> или <span style="color:blue">a • a<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup> • a = e</span> характеризуют полярные состояния, но не числа.

2.	Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Например, в так называемом кольце Ли <span style="color:blue">а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a<sup>2</sup> = 0</span> выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай многополярных колец Ленского.