Просмотр кода страницы Абсурд современного понятия кольца

<span style="color:blue">Современное понятие «кольца»</span>

Простейшими примерами кольца могут служить системы чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения. Однако нужно всегда помнить о поляризованных числах так, что не путать их с однополярными числами; при умножении поляризованного числа (например, – 5), на поляризованное число (например, +4) получим некоторое поляризованное число, которое вне понятий современного уровня развития ума. Такие числа реальные только в мире ума. Останется тема уровня ума и ариом для их реализации.

В современном понятии: «кольцом» называют непустое множество <span style="color:blue">R</span>, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам <span style="color:blue">а, b</span> из <span style="color:blue">R</span>, взятым в определённом порядке, один элемент <span style="color:blue">а + b</span> из <span style="color:blue">R</span> — их сумму и один элемент <span style="color:blue">ab</span> из <span style="color:blue">R</span> — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие аксиомы:

I.     Коммутативность сложения: 
<span style="color:blue">а + b = b + а.</span>

II.   Ассоциативность сложения: 
<span style="color:blue">а + (b + с) = (а + b) + с.</span>

III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение <span style="color:blue">а + х = b</span> допускает решение <span style="color:blue">х = b – a.</span>

IV. Дистрибутивность: <span style="color:blue">а (b + с) = ab + ac,</span> 
<span style="color:blue">(b + с) а = ba + са.</span>

Перечисленные свойства показывают, что элементы <span style="color:blue">«кольца»</span> образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами «кольца» могут служить множества: 

1) всех действительных чисел; 

2) всех комплексных чисел; 

3) комплексных чисел вида <span style="color:blue">a + bi</span> с целыми <span style="color:blue">а, b;</span> 

4) многочленов от одного переменного <span style="color:blue">х</span> с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 

5) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 

6) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 

7) всех кватернионов; 

8) всех чисел Кэли — Диксона; 

9) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения; 

10) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
Во многих случаях на умножение в «кольце» налагаются дополнительные ограничения. Так, если <span style="color:blue">а (bc) = (ab) c</span>, то «кольцо» называют ассоциативным. Однако, если в «кольце» выполняются равенства <span style="color:blue">(aa) b = a (ab)</span>, 
<span style="color:blue">(ab) b = a (bb)</span>, то оно называется альтернативным кольцом, то есть система противоречивая. 

Если в «кольце» выполняются равенства <span style="color:blue">ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a</span>, то оно называется йордановым кольцом. 

Если в «кольце» выполняются равенства 
<span style="color:blue">а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a<sup>2</sup> = 0,</span> то оно называется кольцом Ли. 

Если <span style="color:blue">ab = ba</span>, то «кольцо» называют коммутативным. 

Операции сложения и умножения в «кольце» во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами: его элементы можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент <span style="color:blue">0</span> (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента <span style="color:blue">а</span> существует противоположный, такой элемент <span style="color:blue">– а</span>, что <span style="color:blue">а + (—a) = 0</span>; произведение любого элемента на элемент <span style="color:blue">0</span> всегда равно нулю. 

Однако в «кольце»  может содержать отличные от нуля элементы <span style="color:blue">а, b,</span> произведение которых равно нулю: <span style="color:blue">ab = 0</span>; такие элементы называют делителями нуля. 

Ассоциативное коммутативное «кольцо» без делителей нуля называют областью целостности. Так же, как и в области целых чисел, не во всяком «кольце» возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения <span style="color:blue">ax = b</span> и <span style="color:blue">уа = b</span> при <span style="color:blue">а ≠ 0</span>, то «кольцо» называют <span style="color:blue">телом</span>. 

Ассоциативное коммутативное тело принято называть <span style="color:blue">«полем»</span>. 

<span style="color:red">
Замечание по абсурду.</span>

Наверное, в таких случаях говорят «нет слов». В книге «Пространства» (см. также [[Многополярная математика|Пространства]]) было доказано, что мышление (здравое)<span style="color:blue"> не возможно без единицы</span>. Придётся <span style="color:blue">«кольцо» добавить единицей</span>. Более того, единица это свойство самого ума такое, что для охвата и приведения объектов мышления. Но тогда это уже <span style="color:blue">не «кольцо», а «поле»</span>. Поэтому можно считать «кольцо» выдумкой по неразличению и недомыслию математиков.